En coches modernos con arrancar y esperar 10 o 15 segundos ya te vale para empezar a circular. Obviamente no lo pongas al corte con el motor frío, pero puedes circular sin problemas sin subirlo mucho de vueltas. En días muy fríos, de temperaturas negativas, sí que es recomendable esperar un par de minutos. O si vives en el círculo polar ártico, también, lo que tardas en quitar el hielo del parabrisas y la nieve del capó y techo. Aunque allí la mayoría de coches llevan calentador en el cárter.
Lo de esperarse antes de apagarlo es para enfriar el aceite que circula por el turbo y así evitar que se queme dentro de este, pero eso lo hace la gente que le da caña al coche, ya sea en un circuito o en la calle. Si conduces como una persona normal no es necesario.
El fallo que has tenido probablemente sea un simple defecto del actuador. Esta pieza va separada del turbo, se coloca cerca, pero no está dentro, así que no tiene nada que ver con lo que comentas. Estos actuadores suelen ser por vacío o electromecánicos. Esta pieza lo que hace es variar la geometría del turbo, es decir, cambiar la posición de los álabes para generar más o menos presión. Los turbos que no tienen geometría variable no la llevan.
Como todo actuador, pues es susceptible a averías, si es por vacío puede ser o una fuga del tubo de vacío, o un fallo de la membrana. Si es electromecánico puede ser que falle el motorcillo eléctrico, o haya un problema en el cableado. También podría fallar si los álabes están atascados, es decir, que no se pueden mover para cambiar la geometría, esto pasa si se acumula mucha carbonilla. Pero tengo entendido que compraste el coche hace poco, así que no me cuadra que sea eso.
No suelen ser piezas caras.
No te comas la cabeza, los coches están para usarlos, no para tratarlos como cosas super delicadas. Haz como siempre y ya está.
Por cierto, ¿marca y modelo? ¿No será un coche gabacho?